Reflexiones matemáticas

Es normal que nos cueste verlo. Si es la primera vez que estamos imaginando la cuarta dimensión, es como la primera vez que nos enfrentamos a aquellos libros de imágenes estereográficas, que había que concentrarse y dejar los ojos mirando hacia el infinito para lograr que aquellas imágenes extrañas pintadas en 2D, de repente cobraran tridimensionalidad en nuestra cabeza. No era fácil. Pero si lográbamos concentrarnos y hacer un esfuerzo mental, conseguíamos verlo. Pues esto es parecido. Hay que abrir la mente, y concentrarse. Y para lograr esta concentración, tenemos una ayuda enorme en la fábula de Flatland que nos contaba en el primer post Carl Sagan. Porque podemos sentir y entender la dificultad de los habitantes del mundo 2D Flatland al intentar explicarles cómo es una rotación 3D. Y esa misma frustración que ellos podrían sentir al tratar de entenderla, es exactamente la misma que nos pasa a nosotros para entender una rotación 4D. Pongámonos en la mente de un habitante de Flatlan...

Ya estamos más cerca de ver cómo va a ser esa rotación tan misteriosa en un espacio de 4 dimensiones. Pero antes de eso, necesitamos alguna forma de representar coordenadas en este espacio 4D.  Existen varias alternativas, pero yo voy a usar una que me parece la más fácil de entender. La representación la dividimos en dos vistas: a la izquierda, una representación clásica del sistema 3D para los ejes x,y,z; y a la derecha, una vista plana de los ejes z y w.  De esta forma, un punto cualquiera, P=(a,b,c,d), se representa a la izquierda de forma clásica (desplazando las distancias a,b,c en cada eje) y luego las coordenadas z,w se representan a la derecha (desplazando las distancias c,d en cada eje). Tenemos que tener en cuenta que el eje w está flotando ahí, en la figura de la izquierda, mezclado con los otros tres, y cruzando de forma ortogonal por el origen, pero no lo vemos. Está en otra dimensión, y por eso nos abstraemos y lo pintamos sólo en la parte derecha para aclararno...

El concepto de normal a una primitiva  (normal a una recta, normal a un plano) también es algo que debemos volver a repensar, sobre todo en 4D, porque nos vamos a llevar un par de sorpresas.  Comencemos en 2D, donde la normal a una recta es aquella cuyo vector dirección es perpendicular a la primera. La recta original tiene un grado de libertad, y la normal es otra recta con otro grado de libertad, y juntas representan los dos grados de libertad que tiene el espacio 2D. Ambas rectas cortan en un punto donde ambas son normales. En el espacio 3D, tenemos que la normal a un plano es una recta, y viceversa: la normal a una recta es un plano. La recta tiene un grado de libertad, y el plano está formado por otros dos grados de libertad, que son ambos perpendiculares al vector dirección de la recta. Y de nuevo se cumple que la suma de los grados de libertad de la primitiva y de su normal dan como resultado el número de grados de libertad del espacio 3D. Pero atención ahora que vienen...

Bien. Si has llegado hasta aquí, entonces es que tienes curiosidad por saber cómo es eso de rotar alrededor de un plano. Vamos a irlo desgranando entonces hasta poder visualizarlo. Empecemos en 2D, donde tenemos claro cómo es una rotación. Cuando rotamos un punto P alrededor de un punto C, ocurre que P da vueltas en torno a C, manteniendo siempre la misma distancia entre ambos puntos. Esto significa que P, a medida que gira, siempre se encontrará sobre la circunferencia de centro C y radio la distancia entre P y C. Podemos decir que en la rotación hay un único grado de libertad que podemos variar, que sería el ángulo a rotar. Pasemos ahora a 3D. En un espacio de tres dimensiones, la rotación más sencilla no es alrededor de otro punto, sino de una recta (eje). Esto es así porque, si rotáramos un punto P alrededor de un punto C central, no tendríamos un único grado de libertad como antes, sino que habría dos. Para verlo, pensemos que esta vez P giraría en el espacio alrededor de C, mante...

En una dimensión, donde solo existe el eje x, el único elemento es el  punto , x=a, donde a es un valor real. Por ejemplo, x=0, que es el punto que se encuentra en el centro de la recta real. Casualmente, este punto separa en dos la recta: deja a un lado los puntos de la izquierda (x<0) y al otro lado los puntos de la derecha (x>0) En 2D pasamos a tener dos ejes, x,y. Ahora un punto ya tiene dos coordenadas, P=(x,y), y una  recta  es una línea que une dos puntos y se extiende hasta el infinito. Al igual que el punto en una dimensión separaba el espacio 1D en dos mitades, ocurre lo mismo en 2D: una recta corta el espacio 2D en dos mitades, una a cada lado de la recta. Estamos acostumbrados a ver una recta con la ecuación explícita y=ax+b, donde a es la pendiente de la recta, y b es el corte de la recta con el eje vertical. Pero esta forma de representación tiene sus desventajas. Por ejemplo, no puedes representar una recta vertical, como por ejemplo x=5. Así que es p...

Vivimos en un mundo 3D. Y matemáticamente podemos trabajar con conceptos geométricos básicos que nos resultan sencillos. Conocemos  las ecuaciones de los puntos, rectas y planos, que son los elementos básicos de la geometría. Y además sabemos representarlos y visualizarlos perfectamente. Sabemos cómo hacer para desplazar estos elementos, para escalarlos, y para rotarlos. Lo curioso es que matemáticamente, al igual que podemos pasar de 2D a 3D simplemente añadiendo una tercera coordenada al valor de los puntos, también podemos hacer lo mismo fácilmente para saltar al 4D (4 dimensiones), pero el problema aquí radica en lo complicadísimo que resulta imaginarse este espacio.  Si no has visto el famoso vídeo Flatland de Carl Sagan , te aconsejo verlo. Hace un símil precioso de cómo sería explicarle cómo es un espacio de tres dimensiones a seres que vivieran en un mundo 2D, y que sólo conocieran las direcciones izquierda y derecha, adelante y atrás, pero que no son capaces de imagin...